En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :
Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.
Selon Richard Feynman, elle est « la formule la plus remarquable du monde », où
- e, base du logarithme naturel représente l’analyse,
- l'unité imaginaire i représente l’algèbre,
- la constante d'Archimède
représente la géométrie,
- l'entier 1 l’arithmétique et
- le nombre 0 les mathématiques.
Beauté mathématique
L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique.
En effet, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales :
- 0, l'élément neutre de l'addition.
- 1, l'élément neutre de la multiplication.
- π, omniprésente en trigonométrie, la géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
- e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
- i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir son usage élargi.
De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.
