Les grands mathématiciens (5)

Pierre de FERMAT 
(entre 1601 et 1608 - 1665)

Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIe siècle, à Beaumont-de-Lomagne (département actuel de Tarn-et-Garonne), près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665 à Castres (département actuel du Tarn), est un magistrat, polymathe et surtout mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ». Il est aussi poète, habile latiniste et helléniste, et s'est intéressé aux sciences et en particulier à la physique ; il est l'auteur notamment du principe de Fermat en optique.

Un homme attaché à sa terre natale : né à Beaumont de Lomagne de parents lomagnols entre 1601 et 1608 (les historiens cherchent encore à déterminer sa véritable date de naissance), Pierre Fermat fit ses études de droit à Orléans puis à Toulouse avant de devenir Magistrat au Parlement de Toulouse. Il siégea à plusieurs reprises au Tribunal de l’Édit à Castres. Il n’oublia pas pour autant sa ville natale de Beaumont de Lomagne à laquelle il était très attaché, revenant dans sa maison à chaque vacance parlementaire et participant notamment aux conseils municipaux lorsqu’il était présent dans la bastide.

Un mathématicien par passion : cet amateur de génie se passionna pour les mathématiques et correspondit avec les plus grands savants de son temps : Mersenne, Roberval, Pascal, Descartes, Galilée, Dygby, Gassendi, Huygens, Carcavi. Bien qu’il n’ait laissé aucun traité mathématique et que son œuvre ne soit connue du monde savant que grâce à sa correspondance, il a apporté, des contributions déterminantes dans plusieurs domaines mathématiques : la géométrie analytique, le calcul différentiel, le calcul des probabilités, l’optique, la théorie des nombres.

C’est dans cette dernière branche que Fermat se distingua et se révéla sans rival, notamment avec son théorème qui a tenu en haleine les scientifiques du monde entier pendant 356 ans :

il n'y a pas de nombres entiers non nuls x, y et z tels que:

            (dès que n est un entier strictement supérieur à 2).

Fermat a été très influencé par la lecture des classiques de l'Antiquité, notamment celle de Diophante, mathématicien grec auteur de l'Arithmetica, que les européens ont redécouverte au milieu du XVIè s. Fermat annotera abondamment la marge de son exemplaire (son fils rééditera l'Arithmetica avec les notes de Fermat). Il était annoncé, plus rarement prouvé, de nombreux théorèmes. En 1840, tous étaient démontrés ou invalidés. Tous sauf un : la conjecture appelée grand théorème de Fermat, qui a maintenu les mathématiciens en haleine jusqu'en 1994.

En marge du problème qui consiste à trouver des carrés qui sont sommes de deux autres carrés (on appelle cela chercher des triplets pythagoriciens, car il s'agit des côtés d'un triangle rectangle - ex : 5^2=3^2+4^2), Fermat écrivit : "D'autre part, un cube n'est jamais somme de deux cubes, une puissance quatrième n'est jamais somme de deux puissances quatrièmes, et plus généralement aucune puissance supérieure stricte à 2 n'est somme de deux puissances analogues. J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition, mais je ne peux l'écrire dans cette marge car elle est trop longue". On ne saura jamais si Fermat avait réellement une preuve de son théorème, c'est peu probable, mais après tout qu'importe! Des générations de mathématiciens s'y sont cassés les dents, tout en y forgeant les outils modernes de l'arithmétique.

On retrouva une démonstration de Fermat pour le cas des puissances 4-ièmes, fondée sur l'ingénieuse méthode de la descente infinie. Il a fallu attendre 100 ans pour que Leonhard Euler fournisse une démonstration du cas n=3, avec une erreur certes, mais les idées essentielles y étaient, puis 1820 pour que Dirichlet et Legendre traitent le cas n=5. Un grand pas fut franchi par Kümmer au milieu du XIXè s. avec des travaux très importants sur les entiers cyclotomiques. Il est parvenu à démontrer le théorème pour tous les exposant premiers inférieurs à 100, hormis 37, 59 et 67.

Il faudra attendre le 19 septembre 1994, et le mathématicien anglais Andrew Wiles, pour qu'après nombre de progrès, le théorème de Fermat soit entièrement résolu. La démonstration de Wiles prend environ 1000 pages. Il n'y avait effectivement pas assez de place dans la marge!

Sources : Wikipédia et  Bibm@th.net

Interstellar : un véritable film de science fiction...(enfin !)

 

"En cherchant l’œil de Dieu, je n'ai vu qu'un orbite

Vaste, noir et sans fond, d'où la nuit qui l'habite

Rayonne sur le monde et s'épaissit toujours;

Un arc-en-ciel étrange entoure ce puits sombre,

Seuil de l'ancien chaos dont le néant est l'ombre,

Spirale engloutissant les Mondes et les Jours!"

Gérard de Nerval, Chimères, 1854

Citations

"Deux choses sont infinies : l'Univers et la bêtise humaine. Mais en ce qui concerne l'Univers, je n'en ai pas encore acquis la certitude absolue." Albert Einstein, génie universel "On fait la science avec des faits, comme on fait une maison avec des pierres : mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison." Henri Poincaré, Mathématicien "Une aptitude ne reste une aptitude que si elle s'efforce de se dépasser, que si elle est un progrès." Gaston Bachelard, Philosophe et épistémologue

En cliquant sur le lien suivant, vous pourrez retrouver des chroniques de films, musiques, livres, ou toute autre forme artistique.

Mes chroniques

Les grands mathématiciens (4)

Blaise PASCAL 
(1623-1662)

 

Blaise Pascal, né le 19 juin 1623 à Clairmont (aujourd'hui Clermont-Ferrand) en Auvergne, mort le 19 août 1662 à Paris, est un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français.

Enfant précoce, son père l'éduque. Les premiers travaux de Pascal concernent les sciences naturelles et appliquées. Il contribue de manière importante à l’étude des fluides. Il a clarifié les concepts de pression et de vide, en étendant le travail de Torricelli. Pascal a écrit des textes importants sur la méthode scientifique.

À 18 ans, en 1641, il invente la première machine à calculer et après trois ans de développement et 50 prototypes, il la présente à ses contemporains en la dédiant au chancelier Séguier. Dénommée machine d’arithmétique, puis roue pascaline et enfin pascaline, il en construisit une vingtaine d'exemplaires dans la décennie suivante.

Mathématicien de premier ordre, il crée deux nouveaux champs de recherche majeurs : tout d’abord il publie un traité de géométrie projective à seize ans ; ensuite il développe en 1654 une méthode de résolution du « problème des partis » qui, donnant naissance au cours du XVIIIe siècle au calcul des probabilités, influencera fortement les théories économiques modernes et les sciences sociales.

Après une expérience mystique qu'il éprouva à la suite d'un accident de carrosse en octobre 1654, il se consacre à la réflexion philosophique et religieuse. Il écrit pendant cette période Les Provinciales et les Pensées, ces dernières n’étant publiées qu’après sa mort qui survient deux mois après son 39e anniversaire, alors qu’il a été longtemps malade (sujet à des migraines violentes en particulier).
Source : Wikipédia 

Mon commentaire :
Pascal est un artiste et scientifique hors normes,  le "génie" universel par excellence.
Conseils de lecture : Les Pensées œuvre posthume incontournable de la littérature (française) que l'on peut lire tout au long de sa vie pour y puiser l'essentiel, à l'égal des Essais de Montaigne.
Pascal développe notamment l'idée de son célèbre pari, la place particulière du divertissement pour l'être humain, la raison et le cœur. Toutes les grandes questions de l'Existence y sont abordées avec un style incomparable, peut être l'un des plus beaux de la langues française.

« Vous avez deux choses à perdre : le vrai et le bien, et deux choses à engager : votre raison et votre volonté, votre connaissance et votre béatitude ; et votre nature a deux choses à fuir : l'erreur et la misère. Votre raison n'est pas plus blessée, en choisissant l'un que l'autre, puisqu'il faut nécessairement choisir. Voilà un point vidé. Mais votre béatitude ? Pesons le gain et la perte, en prenant croix que Dieu est. Estimons ces deux cas : si vous gagnez, vous gagnez tout ; si vous perdez, vous ne perdez rien. Gagez donc qu'il est, sans hésiter. »

Blaise Pascal, Pensées (1670)

Le pari de Pascal peut se résumer ainsi :

	Dieu existe	Dieu n'existe pas
Vous pariez sur l'existence de Dieu	Vous allez au paradis = vous gagnez indéfiniment (-b +∞)	Vous retournez au néant = vous perdez votre mise (−b +0)
Vous pariez sur l'inexistence de Dieu	Vous brûlez en enfer = vous perdez indéfiniment (+b -∞)	Vous retournez au néant = vous gagnez votre mise (+b +0)

Note : ±b, nombres réels finis, représente les plaisirs d'une vie libertine ou les privations d'une vie vertueuse, 

±∞ représente le poids d'une éternité de bonheur ou d'une éternité de malheur. Dans les écrits de Pascal b est noté ε (epsilon)

"Quand je fais un film, je me sers d'un appareil capable de transporter mon public d'un extrême à l'autre : je peux le faire rire, crier d'effroi, croire aux légendes, s'indigner, se choquer, s'encanailler ou s'ennuyer. Je suis un trompeur, un illusionniste. Je mystifie, grâce au plus sérieux et au plus étonnant des appareils magiques.
Faire des films, c'est descendre, pour ses plus profondes racines, jusque dans le monde de l'enfance." (I. Bergman)

Big Bang : origine(s)

Contrairement à ce que son nom laisse entendre, il ne s’agit pas d’une explosion au sens stricte mais plutôt d’une expansion de l’espace lui-même à partir d’un état infiniment chaud et dense. En réalité, le terme vient de l’Anglais Fred Hoyle, le plus farouche opposant à cette théorie. En 1950, lors d’une émission de radio sur la BBC, l’astronome employa dédaigneusement ce qualificatif pour décrire ce qu’on appelait auparavant le « modèle d’évolution dynamique ». Le terme était assez grand public pour qu’il reste gravé dans les mémoires.

Le Big Bang aurait eu lieu il y a 13,7 milliards d’années. Les équations actuelles ne permettent de remonter dans le temps que jusqu’à 10exp(-43) seconde après le Big Bang. Sauf à trouver une théorie qui marie les deux « sœurs ennemies » du XXe siècle que sont la relativité générale et la physique quantique, rien ne peut être décrit avant ce moment, dit temps de Planck. L’Univers possédait alors une température de 1032 kelvins. Sa partie observable actuellement depuis la Terre était réduite à une sphère de 10exp(-35) mètre de rayon. Cela ne veut pas dire que l’Univers avait cette taille, mais c’est cet embryon qui, en s’étendant, a donné naissance à ce que nous pouvons observer, soit une sphère de 13,7 années-lumière de rayon.

Le Big Bang étant une singularité spatiotemporelle, l’Univers devait être infiniment dense. Mais pas forcément localisé en un point. S’il est infini, il devait déjà l’être à cet instant, ou plus exactement au seul temps accessible par la physique, le temps de Planck, 10exp(-43) seconde après cet instant initial. Par ailleurs, le Big Bang est la création de l’espace-temps lui-même. Il ne se serait donc produit à aucun endroit. 

Source : La recherche, l'actualité des sciences.

Les grands mathématiciens (3)

Carl Friedrich GAUSS 
(1777-1855)

 

Surnommé le Prince des mathématiciens, Carl Friedrich Gauss étudia tous les domaines des mathématiques et contribua à développer la plupart des branches des sciences.

Gauss naît le 30 avril 1777 à Brunswick dans une famille d’artisans. Enfant prodige, il apprend à lire et à compter dès l’age de trois ans et on raconte qu’à cet age, il corrige une erreur dans les comptes de son père. Une seconde anecdote relate également comment Gauss sait faire preuve d’un talent remarquable pour le calcul mental. Voulant occuper ses élèves, le professeur demande d’effectuer des additions, plus exactement d’effectuer la somme des nombres de 1 à 100. Après très peu de temps, le jeune Gauss, alors âgé de 10 ans, impressionne son professeur en donnant la réponse correcte. Sa technique consiste à regrouper astucieusement les termes extrêmes par deux. Sans le savoir encore, Gauss a découvert la formule permettant de calculer la somme des termes d’une série arithmétique.

Il fait : 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101 … 50 + 51 =101 soit 50 x 101 = 5050.

En 1788, Gauss entre au lycée pour y étudier les langues. Mais son talent pour les mathématiques est vite remarqué et au bout de quelques années il est appelé pour vivre à la cour du duc de Brunswick, Charles Guillaume Ferdinand, où il distrait les courtisans par ses performances mathématiques.
Il y obtient une bourse qu’il lui permet de subvenir à ses études. 

En 1795, il entre ensuite à l’Université de Göttingen pour y suivre des cours de philologie tout en poursuivant ses recherches en mathématiques qui le passionnent. C’est durant cette période, qu’il se fait connaître du monde scientifique et qu’il expose ses premières découvertes comme la formulation de la méthode des moindres carrés et une conjecture sur la répartition des nombres premiers.

Âgé seulement de 19 ans, Gauss découvre une solution au problème de construction à la règle et au compas d’un polygone régulier à 17 côtés. 

Poursuivant les travaux commencés par les savants grecs de l’Antiquité, il démontre également que ce type de construction pour un nombre impair de côtés n’est possible qu’avec un nombre de côtés égal à l’un des nombres premiers 3, 5, 17, 257, 65567 ou un produit de ses nombres. En 1799, Gauss propose comme sujet de thèse sa première démonstration du théorème fondamental de l’algèbre qui énonce que le nombre de racines d’une équation est égal au degré de cette équation. Sa démonstration le conduit à concevoir une représentation géométrique des nombres complexes comme point du plan.
Par exemple, l’équation x4 + 3x2 - 5x + 3 = 0 possède 4 solutions (non nécessairement réelles).
En 1816 puis en 1850, il prolongera sa thèse de deux nouvelles démonstrations. En 1801, il écrit un traité d’arithmétique, Disquisitiones arithmeticae, qui sera un de ses rares ouvrages publié de son vivant.

Citons le théorème de Gauss :
Si a, b et c sont des nombres entiers, si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c.

Après les efforts vains de Farkas Wolfgang Bolyai (1775 ; 1856) pour démontrer le cinquième postulat d’Euclide, fondement de toute la géométrie euclidienne, Gauss envisage la possibilité que celui-ci est indémontrable.

Il conçoit une géométrie particulière, la géométrie des surfaces courbes qui devance les géométries non euclidiennes. Il ne publiera pourtant pas ses travaux craignant que l’on se gausse (!) de lui. Il laisse à Nikolaï Lobatchevski (1792 ; 1856) et Jànos Bolyai (1802 ; 1860), fils de Farkas, le soin de les poursuivre et de les publier en 1832. C’est dans le domaine des probabilités que le nom de Gauss reste le plus célèbre. Il conçoit une loi statistique continue, appelée loi normale ou loi de Laplace-Gauss, dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche.
L’adjectif « normale » s’explique par le fait que cette loi décrit et modélise des situations statistiques aléatoires concrètes et naturelles.

Prenons par exemple une population de 1000 personnes dont la taille moyenne est de 170cm. En traçant l’histogramme des tailles, on obtient une courbe en cloche dont la population se concentre essentiellement autour de la moyenne.


A partir de 1801, Gauss prête un intérêt ostensible pour l’astronomie. La même année l’astéroïde Cérès, découvert récemment, disparaît subitement des télescopes. Gauss en détermine la trajectoire et prédit le retour de l’astéroïde sans se tromper en appliquant la méthode d’approximation des moindres carrés. Cette méthode consiste à créer un modèle mathématique à partir de données expérimentales et permet de minimiser l’impact des erreurs expérimentales. Elle est encore utilisée aujourd’hui pour les sciences. 

La méthode est également attribuée à Adrien-Marie Legendre (1752 ; 1833) qui la décrit en 1805 bien que Gauss assure l’utiliser depuis 1795. En 1807, il est nommé professeur d’astronomie et directeur de l’observatoire astronomique de Göttingen, postes qu’il occupera jusqu’à sa mort. Il ne trouve guère d’intérêts aux activités d’enseignement. Vers la fin de sa carrière seulement, il formera quelques étudiants dont certains deviendront célèbres comme Bernhard Riemann (1826 ; 1866) et Richard Dedekind (1831 ; 1916). 

En 1809, Gauss publie un ouvrage sur le mouvement des corps célestes. A partir de 1826, Gauss se lance en collaboration avec l’allemand Wilhelm Weber (1804 ; 1891) dans l’étude du magnétisme terrestre. Il publie un ouvrage traitant du sujet en 1839.

En hommage à ses travaux, une unité d’induction magnétique porte aujourd’hui son nom.

Il est également à l’origine de découvertes significatives en électricité (loi de Kirchhoff), en optique et en électromagnétisme (équations de Maxwell). La vie de Gauss est marquée de périodes sombres.

En 1809, il perd sa femme, Johanna, dont il est passionnément amoureux. Quelques années plus tard, il perd l’un de ses enfants, Louis.
Son second mariage, de convenance, n’est guère réussi. Sa deuxième femme, Minna, décèdera en 1831 à la suite d’une longue maladie. 

Gauss est un mathématicien solitaire qui n’a qu’occasionnellement collaboré avec d’autres scientifiques.
Carl Friedrich Gauss décède le 23 février 1855 à Göttingen.

Source: http://www.maths-et-tiques.fr

Imitation Game, un film qui rend hommage à Alan Turing

Bande annonce

Alan Turing* a changé l'histoire de l'humanité de deux façons. D'abord en posant les bases de l'informatique et des ordinateurs modernes et ensuite en permettant aux Alliés de décrypter les messages secrets des armées nazies pendant la seconde guerre mondiale. Le film qui va sortir sur les écrans sous le titre d'Imitation Game narre cette partie de la vie du grand mathématicien. Il rend hommage à cet homme que son pays a probablement conduit au suicide en 1954 en le condamnant pour son homosexualité.

Par Laurent Sacco, Futura-Sciences

*Les travaux d'Alan Turing ont porté sur les fondements des mathématiques et surtout de l'informatique théorique. Mais les horizons du mathématicien s’étendaient bien au-delà, car il s'intéressait aussi à la théorie de la relativité, à la mécanique quantique et à la biologie théorique.  

© School of Mathematics and Statistics University of St Andrews Scotland

*Alan Mathison Turing, (23 juin 1912 - 7 juin 1954), est un mathématicien, cryptologue et informaticien britannique.

Il est l'auteur, en 1936, d'un article de logique mathématique qui est devenu plus tard un texte fondateur de la science informatique. Pour résoudre le problème fondamental de la décidabilité en arithmétique, il y présente une expérience de pensée que l'on nommera ensuite machine de Turing et des concepts de programmation et de programme, qui prendront tout leur sens avec la diffusion des ordinateurs, dans la seconde moitié du XXe siècle. Avec d'autres logiciens (Church, Kleene, etc.), Turing est ainsi à l'origine de la formalisation des concepts d'algorithme et de calculabilité, qui fonderont cette discipline. Son modèle a contribué à établir définitivement la thèse Church-Turing, qui donne une définition mathématique au concept intuitif de fonction calculable.

Durant la Seconde Guerre mondiale, il joue un rôle majeur dans les recherches sur les cryptographies générées par la machine Enigma, utilisée par les nazis. Ses découvertes permirent, selon plusieurs historiens, de raccourcir la capacité de résistance du régime nazi de deux ans. Après la guerre, il travaille sur un des tout premiers ordinateurs, puis contribue de manière provocatrice au débat déjà houleux à cette période sur la capacité des machines à penser, en établissant le test de Turing. Vers la fin de sa vie, il s'intéresse à des modèles de morphogenèse du vivant conduisant aux « structures de Turing ».

En 1952, un fait divers lié à son homosexualité lui vaut des poursuites judiciaires. Pour éviter la prison, il choisit la castration chimique par prise d'œstrogènes. Suicide ou accident, Turing est retrouvé mort dans la chambre de sa maison à Manchester, par empoisonnement au cyanure, le 7 juin 1954. La reine Élisabeth II le gracie à titre posthume en 2013. 
Source: Wikipédia 


Mon commentaire :

Un scénario qui rend hommage à cet immense et génial mathématicien à l'origine des fondements de l'informatique, du déchiffrage du code Enigma, qui fût sans doute un des facteurs de la défaite allemande durant la seconde guerre mondiale.

On pourra rapprocher ce film d'un autre film Un homme d'exception qui aborde la vie d'un autre grand mathématicien du XXe siècle John Nash. 

Tous deux, pour des raisons différentes, l'un parce que la société n'acceptant pas son homosexualité a du mettre fin à ses jours et l'autre parce qu'une schizophrénie l'a éloigné de la vie, ont eu un destin hors du commun. Ils ont laissé dans l'histoire la trace indélébile de leurs travaux et découvertes. 

J'ajouterai enfin que le célèbre créateur de la marque à la pomme ce serait inspiré de l'histoire d'Alan Turing pour son non moins célèbre logo. Comme dans Blanche Neige, son film préféré, Alan Turing se suicida en 1954 en mangeant une pomme pleine de cyanure. Il ne remis pas de sa condamnation pour homosexualité en 1952 alors qu'en Grande Bretagne c’était un crime.

La théorie du chaos

La théorie du chaos traite des systèmes dynamiques rigoureusement déterministes, mais qui présentent un phénomène fondamental d'instabilité appelé « sensibilité aux conditions initiales » qui, modulo une propriété supplémentaire de récurrence, les rend non prédictibles en pratique à « long » terme. 

A suivre ....

Philosophie des Sciences (Introduction)

Cours introductif de Philosophie des Sciences*

par Étienne Klein**

*La philosophie des sciences est la branche de la philosophie qui étudie les fondements philosophiques, les systèmes et les implications de la science, qu'il s'agisse de sciences naturelles (physique, biologie, etc.) ou de sciences sociales (psychologie, économie, etc.). La philosophie des sciences est à rapprocher de l'épistémologie et de l'ontologie, deux domaines auxquels elle emprunte beaucoup et pose de nouveaux questionnements.

Sont abordées en philosophie des sciences, entre autres problématiques :

• la nature de la pensée scientifique, de son discours et de ses concepts
• les processus par lesquels la science devient une activité
• le rapport entre science et nature
• les manières de jauger la validité des théories en sciences
• la méthode scientifique
• les raisonnements scientifiques et leurs portées philosophiques
• les implications réciproques entre méthode scientifique et société...

** Voir présentation de Étienne Klein plus bas.
Dans cet exposé, Étienne Klein s'adresse à ses élèves ingénieurs (École Centrale) pour les familiariser avec les liens qu'il existe entre Science et Philosophie.

Les grands mathématiciens (2)

ARCHIMÈDE 
(-287 avJC- 212)

 

Archimède de Syracuse, né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort à Syracuse en 212 av. J.-C., est un grand scientifique grec de Sicile de l'Antiquité, physicien, mathématicien et ingénieur. Bien que peu de détails de sa vie soient connus, il est considéré comme l'un des principaux scientifiques de l'Antiquité classique. Parmi ses domaines d'étude en physique, on peut citer l'hydrostatique, la mécanique statique et l'explication du principe du levier. Il est crédité de la conception de plusieurs outils innovants, comme la vis d'Archimède.

Archimède est généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l'Antiquité et l'un des plus grands de tous les temps. Il a utilisé la méthode d'exhaustion pour calculer l'aire sous un arc de parabole avec la somme d'une série infinie et a donné un encadrement de Pi d'une remarquable précision. Il a également introduit la spirale qui porte son nom, des formules pour les volumes des surfaces de révolution et un système ingénieux pour l'expression de très grands nombres.

Archimède est mort pendant le siège de Syracuse où il a été tué par un soldat romain qui a agi malgré les ordres demandant de ne pas lui nuire.

Contrairement à ses inventions, les écrits mathématiques d'Archimède sont peu connus dans l'Antiquité. Les mathématiciens d'Alexandrie l'ont lu et cité, mais la première compilation n'a été faite qu'en 530 après Jésus-Christ par Isidore de Milet, tandis que les commentaires de l'œuvre d'Archimède dus à Eutocios d'Ascalon durant le VIe siècle ont pour la première fois ouvert ses écrits à un plus large public. Le nombre relativement restreint de copies du travail écrit d'Archimède qui ont survécu à travers le Moyen Âge a été une puissante source d'inspiration pour les scientifiques au cours de la Renaissance, alors que la découverte en 1906 de travaux d'Archimède jusque-là inconnus dans le palimpseste d'Archimède a fourni de nouvelles idées à propos de la façon dont il a obtenu ses résultats mathématiques.

Pour aller plus loin .... Cliquer ici

Source Wikipédia

 

N'hésitez pas à laisser en commentaires votre opinion sur la liberté d'expression, sur la liberté de la presse...

Un monde où toutes les formes d'expressions existent et cohabitent dans le respect de chacun.

Les grands mathématiciens (1)

Cette rubrique a pour vocation de recenser dans l'histoire de l'humanité les grands mathématiciens, c'est à dire ceux qui ont contribué, de par leur(s) découverte(s), aux progrès de la discipline.

 ---------------------------------

Évariste GALOIS 
(1811-1832)

Évariste Galois, né le 25 octobre 1811 à Bourg-la-Reine, mort le 31 mai 1832 à Paris, est un mathématicien français, qui a donné son nom à une branche des mathématiques, la théorie de Galois.

Mort à la suite d'un duel à l'âge de vingt ans, il laisse un manuscrit élaboré trois ans plus tôt, dans lequel il établit qu'une équation algébrique est résoluble par radicaux si et seulement si le groupe de permutations de ses racines a une certaine structure, qu'on appellera plus tard résoluble. Son Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, publié par Joseph Liouville quatorze ans après sa mort, a été considéré par ses successeurs, en particulier Sophus Lie, comme le déclencheur du point de vue structural et méthodologique des mathématiques modernes.

Républicain radical, il prit une part active aux événements qui suivirent les Trois Glorieuses.

Les démêlés de Galois avec les autorités, tant scientifiques que politiques, les zones d'ombre entourant sa mort prématurée, contrastant avec l'importance désormais reconnue de ses travaux, ont contribué à en faire l'incarnation du génie romantique malheureux et d'une jeunesse prometteuse et mal aimée. Il a été célébré en octobre 2011 à l'occasion du bicentenaire de sa naissance.

Source Wikipédia

Pourquoi les mathématiques ?

Les  mathématiques                          permettent de mieux                           comprendre       
 le monde                          qui nous           entoure. 

Les mathématiques                             aident à mieux                           entrevoir  

la beauté                 du monde.           La pratique des                                                           mathématiques                                         aident à 

structurer           notre esprit.                                La pratique des 

mathématiques                     permet de                                                                                   développer                                                                  notre imagination           et                notre    esprit                      d'intuition. 

Les mathématiques                                                    ne sont pourtant pas essentielles pour vivre mais                nous permettent,                                     lorsque nous nous y adonnons,                                  ce supplément             d'âme              indispensable 
à                toute                                EXISTENCE. 

Citations

“Les charmes enchanteux de cette sublime science ne se décèlent dans toute leur beauté qu’à ceux qui ont le courage de l’approfondir.”

Carl Friedrich Gauss

D'où vient que le temps passe?

Conférence de Étienne Klein*

Vidéo

*Étienne Klein est directeur de recherche au CEA. Il dirige actuellement le Laboratoire des Recherches sur les Sciences de la Matière, installé à Saclay. Il a participé à divers grands projets, en particulier la mise au point du procédé de séparation isotopique par laser et l’étude d’un accélérateur à cavités supraconductrices. Au CERN, il a participé à la conception du grand collisionneur de particules européen, le LHC. 

Il a enseigné pendant plusieurs années la physique quantique et la physique des particules à l’École Centrale Paris, et est actuellement professeur de philosophie des sciences. Il est spécialiste de la question du temps en physique. Ses nombreux essais et conférences démontrent qu'il est possible de traiter de la physique quantique sans tomber dans le travers consistant à la présenter avec les ingrédients de la physique classique.

Des nombres fondamentaux en UNE équation

En mathématiques, l'identité d'Euler est une relation entre plusieurs constantes fondamentales et utilisant les trois opérations arithmétiques d'addition, multiplication et exponentiation :

Elle est nommée d'après le mathématicien Leonhard Euler qui la fait apparaître dans son Introductio, publié à Lausanne en 1748.

Selon Richard Feynman, elle est « la formule la plus remarquable du monde », où

• e, base du logarithme naturel représente l’analyse, 
• l'unité imaginaire i représente l’algèbre, 
• la constante d'Archimède représente la géométrie, 
• l'entier 1 l’arithmétique et 
• le nombre 0 les mathématiques.

Beauté mathématique

L'identité d'Euler est souvent citée comme un exemple de beauté mathématique.

En effet, trois des opérations fondamentales de l'arithmétique y sont utilisées, chacune une fois : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. L'identité fait également intervenir cinq constantes mathématiques fondamentales :

• 0, l'élément neutre de l'addition.
• 1, l'élément neutre de la multiplication.
• π, omniprésente en trigonométrie, la géométrie dans l'espace euclidien et en analyse mathématique (π = 3,14159265...)
• e, base des logarithmes qui apparait souvent en analyse, calcul différentiel et mathématiques financières (e = 2,718281828...). Tout comme π, c'est un nombre transcendant.
• i, l'unité imaginaire à la base des nombres complexes, qui ont permis l'étude de la résolution des équations polynomiales avant de voir son usage élargi.

De plus, sous cette forme, l'identité est écrite comme une expression égale à zéro, une pratique courante en mathématique.

Un mur infranchissable

Le Mur de Planck (du nom du physicien Max Planck) désigne la période de l'histoire de l'univers où ce dernier avait un âge de l'ordre du temps de Planck, à savoir environ 10exp(-44) secondes soit 0,000000000000000000000000000000000000000000001 s. 

Avant ce temps, période appelée l'ère de Planck, toutes les lois actuelles de la physique classique comme de la physique quantique trouvent leur limitation dans la mesure où il devient nécessaire d'avoir une description microscopique de la gravitation (on appelle une telle théoriegravité quantique) qui reste encore mystérieuse à ce jour. Notre connaissance se heurte donc à un mur conceptuel. Les grandeurs comme la pression, la température sont si élevées que l'espace-temps semble acquérir une courbure infinie, ce qu'on appelle encore une singularité en relativité générale.
La taille de l'univers à cet instant est de l'ordre de la longueur de Planck, notée LPlanck, et vaut approximativement 10exp(-35) m, ce qui est la plus petite distance physique ayant un sens dans les théories actuelles. Elle représente l'échelle de longueur naturelle dans laquelle serait écrite une éventuelle théorie de la gravité quantique (la gravité quantique est la branche de la physique théorique tentant d'unifier la mécanique quantique et la relativité...).

Le temps et l'espace tels que nous nous les représentons habituellement deviennent des concepts sans doute beaucoup plus compliqués au-delà du mur de Planck, c'est-à-dire pendant l’ère de Planck. Les développements actuels en théorie des cordes et en gravité quantique à boucles suggèrent même que temps et espace ne seraient pas des concepts premiers mais plutôt qu'ils émergeraient d'une réalité physique plus complexe. Il est par exemple possible qu'une fois atteinte l'échelle de Planck, temps et espace ne soient plus continus mais prennent graduellement un caractère discret et discontinu.

Source http://www.techno-science.net

Un mystère vivant, une noblesse d'esprit : Grigori Perelman

 

Génie des maths, il refuse un prix d'un million de dollars

Grigori Perelman, un Russe de 44 ans, a décliné la récompense de l'Institut Clay des Mathématiques pour avoir résolu la conjecture de Poincaré. Depuis quatre ans, il vit reclus dans son petit appartement vétuste de Saint-Pétersbourg.

Les chiffres, oui, mais pas sur des billets verts. Le russe Grigori Perelman, rendu célèbre pour avoir résolu l'un des problèmes mathématiques les plus difficiles posés au 20e siècle, a fait savoir lundi qu'il refusait d'aller chercher le «Prix du Millénaire» que lui a décerné la semaine dernière l'Institut Clay des Mathématiques - un prix qui l'aurait pourtant récompensé d'un million de dollars (750.000 euros). C'est la seconde fois que ce brillant mathématicien, réputé pour être un homme discret, ne vient pas chercher un prix qui lui a été décerné.

Pour Grigori Perelman, tout démarre en 2002. Alors chercheur à l'Institut Steklov de Mathématiques de Saint-Pétersbourg, ce Russe de 44 ans décide de publier ses recherches sur la conjecture de Poincaré sur une plateforme gratuite Internet, destinée aux scientifiques. Cet exercice mathématique, de nombreux chercheurs s'y sont cassé les dents auparavant. Formulée pour la première fois par Henri Poincaré en 1904, il s'agit d'arriver à déterminer si une forme quelconque peut constituer une sphère de trois dimensions.

L'air de rien, Grigori Perelman explique avoir résolu le problème, pourtant considéré par l'Institut Clay comme l'un des «sept problèmes les plus recherchés du millénaire». Rapidement, la nouvelle se propage dans le milieu scientifique et la trouvaille est validée par les plus grands chercheurs. Après avoir travaillé des années dans l'anonymat le plus total, le mathématicien devient une référence dans le milieu.
Il a démissionné de son poste de chercheur

Mais Grigori Perelman n'est pas préparé à cette consécration. En 2005, quelque peu dépassé par la situation, il décide de quitter ses fonctions à l'Institut Steklov où il travaille depuis quinze ans. En 2006, l'Union mathématique internationale (IMU) lui décerne, sans surprise, la prestigieuse médaille Fields, sorte de Prix Nobel de mathématiques décerné tous les quatre ans. Une médaille qu'il n'ira jamais chercher, préférant expliquer aux journalistes - sans leur ouvrir la porte de son appartement - qu'il ne souhaite pas «être exposé comme un animal dans un zoo». «Je ne suis pas un héros de mathématiques, leur lance-t-il alors. Je ne suis même pas un génie, c'est pour cela que je ne veux pas que tout le monde me regarde».

Ainsi, depuis quatre ans, Grigori Perelman vit quasiment reclus dans un petit appartement de Saint-Pétersbourg, en compagnie de sa mère âgée. Selon l'une de ses voisines, qui s'est confiée au Daily Mail, l'homme vivrait dans des conditions plus que rudimentaires : «J'ai été une fois dans son appartement et j'ai été abasourdie. Il y a seulement une table, un tabouret et un lit avec un matelas crasseux cédé par les anciens locataires». D'après ses proches, l'homme aurait cessé toute recherche dans le domaine des mathématiques.

Source: Article du journal Le Figaro 

Publié le 24/03/2010 par Flore Galaud

Quand un grand mathématicien rend hommage à Perelman... 

Les (très) grands nombres

Quand on parle d'une quantité colossale, on utilise généralement les mots « million » ou « milliard » qui représentent respectivement les nombres 1 000 000 et 1 000 000 000. Pourtant ces nombres sont encore insignifiants comparés à ceux qui vont suivre.

Si nous prenons un million de milliards nous obtenons un billiard. Par exemple, la distance qui nous sépare du centre de notre galaxie est de 256 billiards de kilomètres.
Ce qui n'est pas très grand, si on la compare à la distance qui nous sépare de la Grande Ourse, environ 18 trilliards de kilomètres soit 18 mille milliards de milliards de kilomètres.

Googol et Googolplex

Dans les années 40, Edward Kasner (USA) publie un livre «Mathematics and the Imagination» dans lequel apparaît le mot Googol. Ce mot ne serait pas inventé par Kasner mais il l’aurait repris de son neveu âgé à l’époque de 9 ans.

Le Googol est un 1 suivi de 100 zéros. Jusque là, rien d’exceptionnel puisqu’un Septendécillion est plus grand.

C’est le Googolplex qui nous intéresse : un 1 suivi de Googol zéros, pour être plus explicite :
un 1 suivi de 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 zéros !!!

En supposant qu’on écrive sans interruption 3 chiffres par seconde, il nous faudrait environ 100 Quindécillions d’années pour retranscrire intégralement ce nombre, soit 100 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards d’années !!! Même si l’espérance de vie est en augmentation, il ne faut pas rêver ! En fait, aucune quantité physique ne peut atteindre ce nombre, autrement dit : il ne sert à rien !
D'autant plus qu'aujourd'hui les grands nombres se notent en écriture scientifique à l'aide de puissances de 10 qui suffisent amplement aux scientifiques !

Pour atteindre le gogol, il va falloir chercher des choses plus grosses ! Heureusement la physique de l’infiniment petit et de l’infiniment grand vont nous aider. Il y a environ molécules d’eau dans un verre d’eau, à peu près autant que de grains de sable sur Terre, et que d’étoiles dans l’Univers visible. D’ailleurs l’Univers visible a une taille d’environ mètres. Si on regarde son volume plutôt que son diamètre, on fait un saut à mètres-cubes. C’est à peu près aussi le nombre d’atomes dans l’Univers visible, puisque la densité moyenne est de l’ordre d’un atome par mètre-cube. On est pas loin du gogol !

Pour pousser le bouchon, on peut exprimer le volume de l’Univers rapporté au volume d’un proton, par exemple. Un proton mesure environ mètres cubes, donc le volume de l’Univers observable exprimé en volume de proton est égal à . Bingo !

On peut même aller plus loin en le rapportant au volume de l’électron () voire carrément au volume de Planck, lequel vaut dans les . Ca nous met le volume de l’Univers en nombre de volumes de Planck à . Si vous multipliez par l’âge de l’Univers exprimé en temps de Planck, on arrive à pour le volume total d’espace-temps de l’Univers observable exprimé en unités de Planck (un nombre sans dimension, vous noterez). Voilà, je ne suis pas sûr qu’on puisse faire mieux.

Alors,  est-il le plus grand des nombres utiles ? En physique, probablement; en maths, certainement pas !

Notons tout de même que la société Google s’en est inspiré pour donner un nom au moteur de recherche le plus utilisé actuellement avec quelques centaines de millions de connexions par jour … 

 

La notation de Steinhaus

Mais la folie des grands nombres n'en est qu'à ses prémices. En 1963, un mathématicien polonais, Władysław Hugo Dionizy Steinhaus, invente une notation en cascade :
a dans un triangle pour a^a,  
a dans un carré pour a dans a triangles
a dans un cercle pour a dans a carrés.
Cela donne par exemple :

Pour imaginer les nombres gigantesques que la notation de Steinhaus permet de construire, il suffit d'essayer de comprendre le nombre 2 dans un cercle :  

On voit qu'il n'est pas raisonnable de tenter de retrouver une écriture décimale de ce nombre. C'est pourtant l'un des plus petits de cette famille. Imaginez ce que représente par exemple un 100 dans un cercle !

De la notation de Knuth au nombre de Graham

En 1976, un informaticien américain inventeur du langage TeX, Donald Knuth, propose une notation par étages à base de flèches.

a↑b = a^b
a↑↑b = a↑a↑...↑a (b fois)
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑...↑↑a (b fois)
Et ainsi de suite...
Par exemple :
2↑↑3=2↑2↑2 = 2↑2² = 2²² = 16
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑↑(3²⁷) = 3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑3↑...↑3 (7 625 597 484 987 fois) = 3^{33333. . . .} en élevant à la puissante 3, rien que 7 625 597 484 987 fois !

Le mathématicien anglais John Horton Conway poursuit le délire de Knuth en généralisant sa notation avec un nouveau paramètre :
a→b→c = a↑...↑b avec c flèches entre a et b
Ainsi par exemple :
2→3→4 = 2↑↑↑↑3
On imagine bien les nombres extraordinairement grands qu'il est possible de noter de façon très réduite.

Quant au nombre de Graham, du mathématicien américain Ronald Graham, il dépasse les frontières de l'imagination... si ce n'est pas déjà fait !
Le nombre de Graham est le 65e terme de la suite :
u₀ = 4
u₁ = 3→3→u₀
u₂ = 3→3→u₁
...

 On en connait tout de même ses dix derniers chiffres : ...2464195387

Finissons cet article par un nombre plus modeste mais au joli nom d'Asankhyeya (1 suivi de 140 zéros) dont les origines sont bouddhiques et qui était supposé être le plus grand. 

Conférence : Les mathématiques de la chauve-souris par Cédric Villani

Voir la vidéo

Une conférence donnée par Cédric Villani à l'Université de Strasbourg en 2014 qui aide à mieux comprendre à quoi servent les mathématiques. Grâce au talent de vulgarisateur de Cédric Villani, cet exposé s'adresse à tout le monde et surtout à ceux dont le scepticisme à l'égard des mathématiques reste immuable.

Cédric Villani a obtenu la médaille Fields en 2010 , c'est à dire la plus haute récompense décernée à un mathématicien. Le prix Nobel de mathématiques n'existant pas.