Etienne Klein, Introduction à la Cosmologie 3/4

Problèmes du prix du millénaire

Les problèmes du prix du millénaire sont un ensemble de sept défis mathématiques réputés insurmontables, posés par l'Institut de mathématiques Clay en 2000.

1. Hypothèse de Riemann (constitue aussi l'un des problèmes de Hilbert)
2. Conjecture de Poincaré (résolue en 2003)
3. Problème P = NP
4. Conjecture de Hodge
5. Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer
6. Équations de Navier-Stokes
7. Équations de Yang-Mills 

La résolution de chacun des problèmes est dotée d'un prix d'un million de dollars américains offert par l'institut. En 2014, six des sept problèmes demeurent non résolus.

Description générale

Chacun des défis consiste à :

• soit démontrer une hypothèse ou une conjecture qui n'a été ni confirmée ni rejetée faute d'une démonstration mathématique suffisamment rigoureuse ;
• soit définir et expliciter l'ensemble des solutions de certaines équations.

Chacune de ces solutions permettra de solidifier les bases théoriques dans certains domaines des mathématiques dits fondamentaux, et constituera un important tremplin qui servira à approfondir les connaissances en mathématiques fondamentales.

Si la solution proposée par publication pour résoudre l'un de ces problèmes est largement acceptée par la communauté des mathématiciens au bout de deux ans, alors l’Institut de mathématiques Clay remettra un million de dollars américains à la personne ou au groupe qui l'aura formulée.

Le premier de ces problèmes fait partie des problèmes de Hilbert non résolus.

Une description détaillée (en anglais) de chacun des sept problèmes, et de ce qui constituerait une solution acceptable, figure sur le site du Clay Mathematics Institute.

 

Histoire

Au début du XX^e siècle, le mathématicien David Hilbert dressa une liste de 23 problèmes (l'hypothèse de Riemann, par exemple) dont la résolution serait d'un grand intérêt pour faire progresser les mathématiques. Dans le même esprit, le Clay Mathematics Institute, à la fin du XX^e siècle, a décidé d'attribuer un prix d'un million de dollars américains à qui trouverait une solution satisfaisante à l'un des 7 problèmes posés.

À ce jour, le seul des sept problèmes qui ait été résolu est la conjecture de Poincaré, démontrée par Grigori Perelman. (voir article détaillé plus bas).

 

Liste et résumé des problèmes

 

Hypothèse de Riemann

Article détaillé : Hypothèse de Riemann.

L'hypothèse de Riemann est une conjecture formulée en 1859 par le mathématicien allemand Bernhard Riemann. Elle dit que les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann ont tous pour partie réelle 1/2. Sa démonstration améliorerait la connaissance de la répartition des nombres premiers.

 

Conjecture de Poincaré

Article détaillé : Conjecture de Poincaré.

Grigori Perelman a démontré cette conjecture en 2003, et sa démonstration a été récompensée par l'attribution de la médaille Fields en 2006. Mais il l'a déclinée. En ce qui concerne le prix Clay, bien que ses articles n'aient pas été publiés dans des revues à comité de lecture, mais sur arXiv, un répertoire (partiellement) modéré dédié à l'archivage de prépublications principalement de physique et de mathématiques, l'Institut Clay a néanmoins annoncé, le 18 mars 2010, lui avoir décerné ce prix, considérant que les conditions de la validation de son travail avaient été réunies. Le 1^er juillet 2010, l'Institut Clay a annoncé sur son site que Grigori Perelman l'avait informé refuser le prix. Parmi les raisons sous-jacentes à son choix, qu'il a dit être multiples, il a souhaité mettre en avant que son refus devait être vu comme une dénonciation de l'attitude de la communauté mathématique dans sa façon, qu'il considère injuste, d'attribuer ce type de récompense (selon ses propos rapportés par des médias russes. Il aurait en particulier indiqué qu'à ses yeux les contributions de Richard Hamilton étaient du même niveau d'importance que les siennes).

 

Problème ouvert P = NP

Article détaillé : Problème P = NP.

Savoir si P = NP est un des principaux problèmes ouverts de l'informatique théorique. Le mathématicien et vulgarisateur Keith Devlin le décrit comme le seul problème de la liste potentiellement accessible aux non-spécialistes, dans la mesure où sa description est accessible et une idée simple pourrait suffire à le résoudre.

 

Conjecture de Hodge

Article détaillé : Conjecture de Hodge.

La conjecture de Hodge est une des grandes conjectures de géométrie algébrique. Elle établit un lien entre la topologie algébrique d'une variété algébrique complexe non singulière et sa géométrie décrite par des équations polynomiales qui définissent des sous-variétés. Elle provient d'un résultat du mathématicien W. V. D. Hodge qui, entre 1930 et 1940, a enrichi la description de la cohomologie de De Rham afin d'y inclure des structures présentes dans le cas des variétés algébriques (qui peuvent s'étendre à d'autres cas).

Cette conjecture peut s'énoncer ainsi : il est possible de calculer la cohomologie d'une variété algébrique projective complexe à partir de ses sous-variétés.

 

Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer

Article détaillé : Conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer.

La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que pour toute courbe elliptique sur le corps des rationnels, l'ordre d'annulation en 1 de la fonction L associée est égal au rang de la courbe. Elle prédit même la valeur du premier terme non nul dans le développement limité en 1 de cette fonction L.

Ouverte depuis plus de quarante ans, la conjecture n'a été démontrée que dans des cas particuliers. Elle est largement reconnue comme un des problèmes mathématiques les plus difficiles et les plus profonds encore ouverts au début du XXI^e siècle.

 

Équations de Navier-Stokes

Article détaillé : Équations de Navier-Stokes.

En mécanique des fluides, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui sont censées décrire le mouvement des fluides « newtoniens » (liquide et gaz visqueux ordinaires) dans l’approximation des milieux continus. La résolution de ces équations modélisant un fluide comme un milieu continu à une seule phase incompressible, même quand elle est possible, est ardue, et dans le cas général, la cohérence mathématique de ces équations non linéaires n'est pas démontrée. Mais elles permettent souvent par une résolution approchée de proposer une modélisation des courants océaniques et des mouvements des masses d'air de l'atmosphère pour les météorologistes, la simulation numérique du comportement des gratte-ciel ou des ponts sous l'action du vent pour les architectes et ingénieurs, des avions, trains ou voitures à grandes vitesse pour leurs bureaux d'études concepteurs, mais aussi l'écoulement de l'eau dans un tuyau et de nombreux autres phénomènes d'écoulement de divers fluides.

Elles sont nommées d'après deux scientifiques du XIX^e siècle, le mathématicien et ingénieur des ponts et chaussées Claude Navier et le physicien George Stokes, le choix oubliant le rôle intermédiaire du physicien Adhémar Barré de Saint-Venant. Pour un gaz peu dense, il est possible de dériver ces équations à partir de l’équation de Boltzmann, décrivant un comportement moyen des particules dans le cadre de sa théorie cinétique des gaz.

Ces équations sont donc fondamentales pour expliquer le comportement des fluides. Il existe des solutions partielles, mais aucune solution générale n'est encore proposée.

 

Équations de Yang-Mills

Article détaillé : Équations de Yang-Mills.

Une théorie de Yang-Mills est un type de théorie de jauge non abélienne, dont le premier exemple a été introduit dans les années 1950 par les physiciens Chen Ning Yang, et Robert Mills pour obtenir une description cohérente de l'interaction faible au sein des noyaux atomiques. Depuis, il a été réalisé que ce type de théorie, une fois incorporé dans le cadre de la théorie quantique des champs, permet une description de l'ensemble des interactions fondamentales de la physique des particules et est à la base conceptuelle du modèle standard.

Son expression mathématique moderne fait appel aux outils de la géométrie différentielle et des espaces fibrés. Bien que la formulation et le cadre géométrique de la théorie de Yang-Mills classique soient bien connus depuis longtemps, deux propriétés fondamentales n'ont toujours pas été démontrées mathématiquement et font donc l'objet du prix du millénaire:

• d'une part l’existence d'une théorie quantique des champs cohérente, fondée sur une théorie de Yang-Mills;
• d'autre part l'existence d'un gap de masse (en) qui ne permet l'observation des gluons, particules élémentaires de la théorie quantique associés à toute théorie de Yang-Mills, que sous forme de combinaisons massives appelées boules de glu (glueball en anglais). Ce problème non résolu est intimement lié à celui du confinement de couleur qui affirme que seuls sont observables les états quantiques de charge de couleur nulle.

En dehors de ces aspects associés à la physique quantique, la théorie de Yang-Mills classique est hautement non linéaire et les équations de Yang-Mills qui lui sont associées sont très difficiles à résoudre de façon exacte en dehors de cas particuliers. C'est cette non-linéarité, associée à une structure géométrique riche, qui donne aux théories de Yang-Mills toute leur complexité et en fait un sujet de recherche actif à la fois en mathématiques et en physique théorique.

Source : Wikipédia

Pour mieux comprendre les concepts qui sous tendent le film Interstellar :

Qu'est-ce qu'un trou noir ?

En astrophysique, un trou noir est un objet céleste si compact que l'intensité de son champ gravitationnel empêche toute forme de matière ou de rayonnement de s’en échapper. De tels objets ne peuvent ni émettre, ni réfléchir la lumière et sont donc noirs, ce qui en astronomie revient à dire qu'ils sont invisibles. Toutefois, plusieurs techniques d’observation indirecte dans différentes longueurs d'ondes ont été mises au point et permettent d’étudier les phénomènes qu’ils induisent. En particulier, la matière happée par un trou noir est chauffée à des températures considérables avant d’être « engloutie » et émet une quantité importante de rayons X. Envisagée dès le XVIIIe siècle, dans le cadre de la mécanique classique, leur existence — prédite par la relativité générale — est une certitude pour la quasi-totalité de la communauté scientifique concernée (astrophysiciens et physiciens théoriciens).

Dans le cadre de la relativité générale, un trou noir est défini comme une singularité gravitationnelle occultée par un horizon absolu appelé horizon des événements. Selon la physique quantique, un trou noir est susceptible de s'évaporer par l'émission d'un rayonnement de corps noir appelé rayonnement de Hawking.

Un trou noir ne doit pas être confondu avec un trou blanc ni avec un trou de ver.

 

Qu'est-ce qu'un trou de ver ?

Un trou de ver (en anglais : wormhole) est, en physique, un objet hypothétique qui relierait deux feuillets distincts ou deux régions distinctes de l'espace-temps et se manifesterait, d'un côté, comme un trou noir et, de l'autre côté, comme un trou blanc.

Le physicien autrichien Ludwig Flamm (1885-1964) est parfois présenté comme étant le premier à avoir suggéré, dès 1916, l'existence des trous de ver. Mais la communauté scientifique s'accorde pour considérer que leur existence n'a été suggérée qu'en 1935, par Albert Einstein et Nathan Rosen.

Les trous de ver doivent leur nom à Charles W. Misner et John A. Wheeler qui les désignèrent ainsi en 1957.

En 2013, Juan Maldacena et Leonard Susskind ont proposé une conjecture qui établit un lien entre l'intrication quantique et le trou de ver : la conjecture ER=EPR. Elle a été complétée par Kristan Jensen et Andreas Karch ainsi que par Julian Sonner.

Un trou de ver formerait un raccourci à travers l'espace-temps. Pour le représenter plus simplement, on peut se représenter l'espace-temps non en quatre dimensions mais en deux dimensions, à la manière d'un tapis ou d'une feuille de papier. La surface de cette feuille serait pliée sur elle-même dans un espace à trois dimensions.

L'utilisation du raccourci "trou de ver" permettrait un voyage du point A directement au point B en un temps considérablement réduit par rapport au temps qu'il faudrait pour parcourir la distance séparant ces deux points de manière linéaire, à la surface de la feuille. Visuellement, il faut s'imaginer voyager non pas à la surface de la feuille de papier, mais à travers le trou de ver ; la feuille étant repliée sur elle-même permet au point A de toucher directement le point B. La rencontre des deux points serait le trou de ver.

L'utilisation d'un trou de ver permettrait le voyage d'un point de l'espace à un autre (déplacement dans l'espace), le voyage d'un point à l'autre du temps (déplacement dans le temps) et le voyage d'un point de l'espace-temps à un autre (déplacement à travers l'espace et en même temps à travers le temps).

Les trous de ver sont des concepts purement théoriques : l'existence et la formation physique de tels objets dans l'Univers n'ont pas été vérifiées.

Il ne faut pas confondre trous de ver et trous noirs : les trous de ver sont hypothétiques, alors que les trous noirs sont des objets qui existent réellement et dont le champ gravitationnel est si intense qu’il empêche toute forme de matière de s'en échapper.

Théorie de la relativité

L'expression théorie de la relativité renvoie le plus souvent à deux théories distinctes élaborées par Albert Einstein : la relativité restreinte et la relativité générale. Ce terme peut aussi renvoyer à une idée plus ancienne, la relativité galiléenne qui s'applique à la mécanique newtonienne.

En 1906, le physicien allemand Max Planck utilise l'expression « théorie relative » (Relativtheorie), qui met l'accent sur l'usage du principe de relativité. Dans la partie discussion de cet article, le physicien allemand Alfred Bucherer utilise pour la première fois le terme « théorie de la relativité » (Relativitätstheorie).

Les concepts mis en avant par la théorie de la relativité restreinte comprennent :

• L'espace-temps : l'espace et le temps doivent être perçus comme formant une seule entité.
• La vitesse de la lumière dans le vide est invariable, peu importe la vitesse de l'observateur et de la source lumineuse. Les calculs montrent qu'alors elle est aussi la vitesse maximale de déplacement, qu'elle n'est atteinte que pour la lumière ou toute notion dépourvue de masse, et doit être considérée comme la vitesse maximale de déplacement de l'information.
• Les mesures de diverses quantités sont relatives à la vitesse de l'observateur. En particulier, le temps se dilate et l'espace se contracte.

Les concepts mis en avant par la théorie de la relativité générale comprennent :

• L'espace-temps se courbe d'autant plus que la masse à proximité est grande.
• La gravité influence l'écoulement du temps.

La relativité générale est une théorie relativiste de la gravitation, c'est-à-dire qu'elle décrit l'influence sur le mouvement des astres de la présence de matière et, plus généralement d'énergie, en tenant compte des principes de la relativité restreinte. La relativité générale englobe et supplante la théorie de la gravitation universelle d'Isaac Newton qui en représente la limite aux petites vitesses (comparées à la vitesse de la lumière) et aux champs gravitationnels faibles.

La relativité générale est principalement l'œuvre d'Albert Einstein, dont elle est considérée comme la réalisation majeure, qu'il a élaborée entre 1907 et 1915. Les noms de Marcel Grossmann et de David Hilbert lui sont également associés, le premier ayant aidé Einstein à se familiariser avec les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de la théorie (la géométrie différentielle), le second ayant franchi conjointement avec Einstein les dernières étapes menant à la finalisation de la théorie après que ce dernier lui en eut présenté les idées générales dans le courant de l'année 1915.

La relativité générale est fondée sur des concepts radicalement différents de ceux de la gravitation newtonienne. Elle énonce notamment que la gravitation n'est pas une force, mais la manifestation de la courbure de l'espace (en fait de l'espace-temps), courbure elle-même produite par la distribution de l'énergie, sous forme de masse ou d'énergie cinétique, qui diffère suivant le référentiel de l'observateur. Cette théorie relativiste de la gravitation prédit des effets absents de la théorie newtonienne mais vérifiés, comme l'expansion de l'Univers, ou vérifiables, comme les ondes gravitationnelles et les trous noirs. Elle ne permet pas de déterminer certaines constantes ou certains aspects de l'univers (notamment son évolution, s'il est fini ou non, etc.) : des observations sont nécessaires pour préciser des paramètres ou faire des choix entre plusieurs possibilités laissées par la théorie.

Aucun des nombreux tests expérimentaux effectués à ce jour (2011) n'a pu la mettre en défaut. Toutefois, des questions restent sans réponse : principalement sur le plan théorique, comment la relativité générale et la physique quantique peuvent être unies pour produire une théorie complète et cohérente de gravité quantique; et sur le plan des observations astronomiques ou cosmologiques, comment concilier certaines mesures avec les prévisions de la théorie (matière noire, énergie sombre).

Source : Wikipédia

Citation

"Quand on va au cinéma, on lève la tête. Quand on regarde la télévision, on la baisse" 

Jean-Luc GODARD

Etienne Klein, Introduction à la Cosmologie 2/4

Étienne Klein revient, dans cette seconde partie, sur le concept paradoxal de l'origine de l'univers.

En procédant par analogie avec les origines du langage il nous fait entrevoir le véritable problème (au sens philosophique) que suggère la notion d'origine. 

Etienne Klein, Introduction à la Cosmologie 1/4

Retrouver dans cette première partie les fondements de cette "nouvelle" science. Étienne Klein s'adresse à ses élèves de l'école Centrale de Paris qui découvrent cette discipline.

La cosmologie est la branche de l'astrophysique qui étudie l'origine, la nature, la structure et l'évolution de l'Univers.

La cosmologie tente de faire la synthèse entre les différentes théories physiques et autre théorie de la connaissance pour élaborer "une théorie du tout".